ראשית מדע להבין איך דברים עובדים

הביצה והתרנגולת

פרדוקס השקרן - מבוא

מעשה בפילוסוף המכריז על עצמו "אני שקרן".

 

פילוסופים - בסיפור שלנו - הם אנשים משונים ועקביים, השייכים לאחת משתי קבוצות:

bullet

דוברי אמת. שכל דבריהם אמת בלבד. ללא כל יוצא מן הכלל.

bullet

שקרנים.שכל דבריהם שקר בלבד. ללא כל יוצא מן הכלל.

 

עתה נפנה לזהות איזה מהפילוסופים, יכול להכריז על עצמו "אני שקרן":

bullet

אם נניח שהפילוסוף דובר אמת, אזי גם ההכרזה המסויימת הזו, על פיה הוא בעצם שקרן - אמיתית!. כלומר אם הוא דובר אמת - אז הוא שקרן!.

bullet

אם, מצד שני, נניח שהפילוסוף שקרן, אזי גם ההכרזה המסויימת הזו, על פיה הוא בעצם שקרן - שיקרית. כלומר הוא בעצם לא שקרן, אלא דובר אמת. שוב סתירה: אם הוא שקרן - אז הוא דובר אמת!.

 

המילה הלועזית פרדוקס משמשת לתאור תוצאות מסוג זה, בהן דומה כי הליך חשיבה תקין לחלוטין הוביל למסקנות בלתי אפשריות.

 

מעבר לשעשוע, התגלה לחוקרי תורת ההגיון (לוגיקה) כי ניתן ללמוד רבות מ"משחקי חשיבה" כאלה. המחקר הוביל להכללת התוצאות "למערכות המתייחסות לעצמן". (כמו בדוגמא זו בה הפילוסוף מכריז על עצמו שהוא שקרן.) משפט "אי השלמות" של גדל - העושה שימוש מורכב בפרדוקס - הינו בעל משקל עקרוני ביסודות המתמטיקה (*).

 

מסתבר שניתן לזהות "מערכות המתייחסות לעצמן" בתחומים שונים - הן בעולם הטבעי, והן בעולם המלאכותי. בחינתן מעלה כי יש להן הרבה מן המשותף עם פרדוקס השקרן.

 

יחשוב להדגיש כי קיימים גם הבדלים, חלקם עקרוניים, בין המערכות השונות אותן אנו מתארים. אנו בוחרים להציג את המגוון ולהתמקד בכמה ממאפייני המשותף.

מי הצייר? - מי הציור ?

דו שיח אפשרי בין שני צופים בציור (נאמר: דני ויעל) יכול להתנהל כדלקמן:

דני: מה מצוייר כאן ?

יעל: יד מציירת יד.

דני: את מתכוונת לכך שהיד התחתונה מציירת את העליונה ?

יעל: כן.

דני: ומה עושה היד העליונה ?

יעל: מציירת גם היא.

דני: מה היא מציירת ?

יעל: היא מציירת את היד התחתונה, אמ...את זו שמציירת אותה.

דני: אהה. את מוכנה להגיד את זה עכשיו ביחד.

יעל: בסדר, בסדר. יש כאן יד שמציירת יד, שמציירת יד.

דני: וזהו ?

יעל: לא. אתה יודע שלא זהו. זה לא נגמר !. זה יד שמציירת יד, שמציירת יד, שמציירת יד, שמציירת יד, שמציירת יד, שמציירת יד, שמציירת יד, שמציירת יד, שמציירת יד, שמציירת יד, שמציירת יד, שמציירת יד, שמציירת יד, שמציירת יד, שמציירת יד, שמציירת יד, שמציירת יד, שמציירת יד... אוף נגמר לי האוויר.

(הצייר ההולנדי M.C.Escher 1898-1972 אחראי לעושר יצירתי, הממוקד לא פעם בהמחשה של עקרונות מתמטיים. במסגרת פעילויות ראשית מדע השונות, בהקשרים הישימים, נכיר יצירות נוספות של אשר.)

ידיים מציירות 1948, M. C. Escher

בובת המטריושקה

כשפותחים בובת מטריושקה מגלים בתוכה אחת נוספת - זהה.

פתיחת הבובה הפנימית תגלה בתוכה...בובה נוספת. מרבית יוצרי הבובות, נעצרים אחרי 4 עד 6 שלבים של: בובה, בתוך בובה, בתוך בובה.

 

bullet

אפרוח ממין נקבה בוקע מביצה, וגדל לתרנגולת בוגרת.

bullet

תרנגולת בוגרת מטילה ביצה, שממנה יבקע אפרוח.

 

כלומר ניתן לומר - שבדומה למטריושקה - בתרנגולת יש ביצה, שבתוכה תרנגולת, שבתוכה ביצה, שבתוכה תרנגולת, שבתוכה ביצה,שבתוכה תרנגולת, שבתוכה ביצה,שבתוכה תרנגולת, שבתוכה ביצה....

 

"יוצרי" התרנגולות (בניגוד ליוצרי המטריושקה) אינם נעצרים כלל. התהליך הוא אינסופי.

הג'יני

לאחר שצפו בציורו של Escher, קיבלו ארועי יומם של דני ויעל תפנית מעט בדיונית: הם מצאו מנורת שמן ישנה, ניסו לנקותה מאבק בשפשוף קל, ו...פגשו בג'יני שיצא ממנה בחדווה.

 

להלן השיחה שהתפתחה:

ג'יני: שלום לכם אדוני היקרים. כפי שבודאי כבר שמעתם, לרשותכם 3 משאלות.

יעל: דני, דני, זו בדיוק ההזדמנות לטריק שעליו תמיד דיברנו, כששמענו את האגדות על 3 משאלות.

דני: רעיון מעולה, טוב שהזכרת לי, אני הייתי די בהלם מהג'יני.

דני ויעל: או קי מר ג'יני, הינה הבקשה הראשונה שלנו: "מעכשיו אתה נדרש למלא כל בקשה שנעלה".

דני ויעל: זהו, סוף סוף מישהו שלא יבזבז את המשאלות. חיסלנו את מגבלת 3 המשאלות!.

ג'יני: אמממ... אהה... אמממ... טוב זו בקשה באמת מיוחדת.

ג'יני: זו בקשה העוסקת בבקשות עצמן. במקרה כזה כל ג'יני צריך לבקש אישור, מהג'יני המנהל שלו.

 

ג'יני: טוב אין ברירה, אוציא את המנורה שלי מכיסי, אשפשף אותה ואבקש אישור מהג'יני המנהל שלי.

ג'יני מנהל: אהה... בקשה בענייני בקשות. טוב אין ברירה, אוציא את המנורה שלי מכיסי, אשפשף אותה ואבקש אישור מהג'יני המנהל שלי.

ג'יני מנהל מנהל: אהה... בקשה בענייני בקשות. טוב אין ברירה, אוציא את המנורה שלי מכיסי, אשפשף אותה ואבקש אישור מהג'יני המנהל שלי.

ג'יני מנהל מנהל מנהל: אהה... בקשה בענייני בקשות. טוב אין ברירה, אוציא את המנורה שלי מכיסי, אשפשף אותה ואבקש אישור מהג'יני המנהל שלי.

 

יעל: דני... לא נראה שזה הולך להסתיים.

דני: לא, זה נראה אינסופי.

דני ויעל: אמממ... נראה שגם אנחנו - כמו בסיפור על הדייג העני - נכשלנו. בדרך מתוחכמת, אבל נכשלנו.

 

הג'יני - באדיבות אולפני וולט דיסני.

הסיפור - בשינויים סמנטיים - על פי Douglas Hofstadter, Gödel, Escher, Bach

קול בלי קול

בעת כיוון מערכות הגברת קול, ניתן לשמוע לעיתים קול צרחה הבוקע מהרמקול. הצרחה נשמעת בעוצמה, ובבהירות, למרות שאיש אינו צורח לתוך המיקרופון.

 

גיבורינו, דני ויעל נרתמים גם הפעם, לפיענוח התעלומה:

דני: מי צרח במיקרופון.? יעל, זו היית את ?

יעל: לא. לא השמעתי הגה. מוזר. מהיכן בקעה הצרחה ששמענו ?

דני: הרמקול אמור להשמיע רק את מה שהמיקרופון שומע ?, נכון ?

יעל: כן. אלא אם יש תקלה. אחת, שתים. אחת שתים. נשמע שהכל עובד... אופס הינה זה שוב.

דני: כן, בדיוק כשהעברת את המיקרופון מול הרמקול.

יעל: אהה!. רשרוש קטן במיקרופון, עובר הגברה ויוצא מהרמקול.

דני: המיקרופון שומע את מה שיוצא מהרמקול, ומעביר אותו בחזרה... לרמקול.

יעל: כן בדיוק כמו קודם: הרמקול משמיע את המיקרופון שמאזין לרמקול, שמשמיע את המיקרופון, שמאזין לרמקול, שמשמיע את המיקרופון, שמאזין לרמקול, שמשמיע את המיקרופון, שמאזין לרמקול, שמשמיע את המיקרופון, שמאזין לרמקול, שמשמיע את המיקרופון, שמאזין לרמקול, שמשמיע את המיקרופון, שמאזין לרמקול... אוף עוד פעם אינסוף חזרות.

פעמון - שקרן

דני: מעניין אם יש לכל העניין הזה של "מערכות שמתייחסות לעצמן", גם שימוש מעשי כלשהו.

יעל: כן, הרי שמענו בפעילות ראשית מדע כל מיני הסברים אפילו על מתמטיקאי שכמעט והשתגע, קנטור או משהו כזה.

דני: כן, נכון. אבל יש את הפעמון.

 

יעל: נכון, נכון. הפעמון שולט בכיבוי וההדלקה של עצמו וככה יש צילצול.

דני: כן. כשהמקוש נח, הוא סוגר מעגל חשמלי שמפעיל את האלקטרומגנט.

יעל: האלקטרומגנט מושך את המקוש. המקוש, בהימשכו, מנתק את המעגל החשמלי.

דני: ולכן אלקטרומגנט מפסיק למשוך אותו, והוא נח חזרה ו...נמשך חזרה.

יעל: ממש פעמון שקרן. מקוש נח גורם למקוש להמשך, כלומר לזוז.

יעל: אז כמו עם הפילוסוף: אם הוא נח - הוא זז.

דני: ואם הוא זז - הוא נח.

 

 

מקורות/לקריאה נוספת

bullet

M.C.Escher
bulletרקע ביוגרפי  http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Escher.html
bulletיצירות http://www.mcescher.com/

bullet Douglas Hofstadter, Gödel, Escher, Bach
(*)

ההוכחה כי בכל מערכת פורמלית קיימים משפטים אמיתיים שאינם ניתנים להוכחה.

 

דף הבית
אודות
תכני ההעשרה
חדשות מדע - ארועים
חדשות מדע - עניין
איינשטיין בבית - רקע
איינשטיין בבית - הצטרפות
ארועים לקהל הרחב
קישורים
לפעילי ראשית מדע
ארגונים בעלי זיקה
מידע ליצירת קשר

דף הבית אודות תכני ההעשרה חדשות מדע - ארועים חדשות מדע - עניין איינשטיין בבית - רקע איינשטיין בבית - הצטרפות ארועים לקהל הרחב קישורים לפעילי ראשית מדע ארגונים בעלי זיקה מידע ליצירת קשר

שלח דואר אל webmaster@reshitmada.orgבצירוף שאלות או הערות אודות אתר אינטרנט זה.
השתנה לאחרונה: 13/01/10